（2004•上海）如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
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问题描述：
（2004•上海）如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=DA=
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．
李林川回答：
证明：（1）∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF．
又∵截面DEF∥底面ABC，
∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°，∴P-ABC是正四面体
（2）取BC的中点M，连拉PM，DM．AM．
∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角．
由（1）知，P-ABC的各棱长均为1，
∴PM=AM=32
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