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过抛物线y=X2的顶点任做两条互相垂直的弦OA和OB.求证:直线AB恒过一定点;求AB中点M的轨迹方程
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问题描述:

过抛物线y=X2的顶点任做两条互相垂直的弦OA和OB.求证:直线AB恒过一定点;求AB中点M的轨迹方程

邱金桓回答:
  证明:假设一个斜率为k>0,那么另一条斜率为-(1/k),解得两个交点A,B(K,K^2)(-1/k,1/k^2),这样可以得到直线方程(Y-k^2)*K=(X-k)*(1-k^2)明显,(0,1)点恰好总满足该方程.AB恒过(0,1)点.   第二题,主要是怎样把中点XY坐标中的K消掉.X=(K-1/K)/2,Y=(K^2+1/K^2)/2不难发现消掉K的方法.就是(2X)^2+2=2Y.那么得到M点的方程.Y=2X^2+1
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