（高等数学）将函数f(x)=ln(1+x)/(1-x)展开成x的幂级数,并求收敛区间
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问题描述：
（高等数学）将函数f(x)=ln(1+x)/(1-x)展开成x的幂级数,并求收敛区间
杜昭辉回答：
令g(x)=ln(1+x),g(0)=0；
[ln(1+x)]'=1/(1+x),g'(0)=1；
[ln(1+x)]''=-1/(1+x)^2,g''(0)=-1；
[ln(1+x)]'''=2/(1+x)^3,g''(0)=2!；一般有：
[ln(1+x)]^(k)=(-1)^(k-1)*(k-1)!/(1+x)^k,g^(k)(0)=(-1)^(k-1)*(k-1)!；
根据泰勒展开式有：
∴ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+......+(-1)^(n-1)*x^n/n+.
(1-x)*ln(1+x)=ln(1+x)-x*ln(1+x)=[x-x^2/2+x^3/3+......+(-1)^(n-1)*x^n/n+.]-
[x^2-x^3/2+x^4/3+......+(-1)^(n-1)*x^(n+1)/n+.]
=x+(-1)*3/2*x^2+5/6*x^3+......+(-1)^(n-1)*(2n-1)/[n*(n-1)]*x^n+.
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