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(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点。(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小.(Ⅲ)试问:在线段AC上是否存
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问题描述:

(本小题满分12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,
AB=,AF=1,M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小.
(Ⅲ)试问:在线段AC上是否存在一点P,使得直线PF与AD所成角为60°?

马言宣回答:
  解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,            1分∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形,                    2分∴AM∥OE.                                      ∵平面BDE,平面BDE,           4分∴AM∥平面BDE.                           (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,∵AB⊥AF,AB⊥AD,∴AB⊥平面ADF,                             6分∴AS是BS在平面ADF上的射影,由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           在RtΔASB中,∴                   ∴二面角A—DF—B的大小为60º.               8分(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF,            ∴PQ⊥QF.                                   9分 在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.∵ΔPAQ为等腰直角三角形,∴                         10分又∵ΔPAF为直角三角形,∴,∴                 所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点.                          12分方法二(仿上给分)(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。设,连接NE,则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),又点A、M的坐标分别是()、(∴NE∥AM.又∵平面BDE,平面BDE,∴AM∥平面BDF.(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得又∵PF和AD所成的角是60º.∴解得或(舍去),即点P是AC的中点.   略
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