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高等数学中等价无穷小的问题求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x.因此上式可以转化为(x-x)/x3,结果是0.但是本人将式子进行转换,tanx-sinx=sinx(1-cosx
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问题描述:

高等数学中等价无穷小的问题

求当x→0时,(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少?

根据等价无穷小的结论,当x→0时tanx=x,sinx=x.因此上式可以转化为(x-x)/x3,结果是0.

但是本人将式子进行转换,tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx;(sinx)3=sinx(sinx)2.将两式同时除以sinx,(显然sinx≠0),可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2],这里1-(cosx)2可以分解为(1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以,cosx≠1.因此上式可以同时约掉1-cosx;最后式子就成了1/cosx(1+cosx).最后的结果居然是1/2!

怎么会出现这样的情况?到底是等价无穷小错了还是我后面的推算有问题?

万红回答:
  注意x→0的时候不是tanx=x而是趋于x这个和等号有本质的不同   你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了虽然他们都与x同阶但是高阶部分不同两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x
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