f（n）=1+1/2+1/3+1/4+1/n存在关于自然数n的函数g(n)使f(1)+f(2)+f(3)……+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数成立,如何用数学归纳法证明此结论?
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问题描述：
f（n）=1+1/2+1/3+1/4+1/n
存在关于自然数n的函数g(n)使f(1)+f(2)+f(3)……+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数成立,如何用数学归纳法证明此结论?
陆瀛海回答：
n=2时,f(n-1)=f(2-1)=f(1)=1
f(n)-1=f(2)-1=(1+1/2)-1=1/2
所以f(n-1)=g(n)[(f(n)-1],1=g(2)*1/2,g(2)=2
假设n=k时,存在g(k),使得f(1)+f(2)+.+f(k-1)=g(k)[f(k)-1]
当n=k+1时,f(k+1)=1+1/2+.+1/k+1/(k+1)=f(k)+1/(k+1)
f(k)=f(k+1)-1/(k+1)
(f(1)+f(2)+.+f(k-1)+f(k))/[(f(k+1)-1]
=(g(k)[f(k)-1]+f(k))/(f(k)+1/(k+1)-1)
=[(g(k)+1)f(k)-g(k)]/[f(k)-k/(k+1)]
即存在自然数k的函数g(k+1)=[(g(k)+1)f(k)-g(k)]/[f(k)-k/(k+1)],使得
f(1)+f(2)+.+f(k)+f(k+1)=g(k+1)[f(k+1)-1]成立
所以原命题成立
刘丽兰回答：
不好意思，题目打错了。原题是“设f（n）=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n，是否存在关于自然数n的函数g(n)使f(1)+f(2)+f(3)……+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数成立,？求出g（n）并用用数学归纳法证明此结论”
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