数学上的韦达定理是什么?具体怎么用?用在哪些题上?
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问题描述：
数学上的韦达定理是什么?具体怎么用?用在哪些题上?
齐清文回答：
一元二次方程ax^2+bx+c(a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的.一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积.
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理.历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性.
由代数基本定理可推得：任何一元n次方程
在复数集中必有根.因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根.两端比较系数即得韦达定理.
韦达定理在方程论中有着广泛的应用.
定理的证明
设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,且不妨令x_1gex_2.根据求根公式,有
x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}},x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}
所以
x_1+x_2=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}+left(-bright)-sqrt{b^2-4ac}}=-frac,
x_1x_2=frac{left(-b+sqrt{b^2-4ac}right)left(-b-sqrt{b^2-4ac}right)}{left(2aright)^2}=frac
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