【将n只球放入m只盒中,设每只球落入各个盒中是等可能的,求有球的盒子数x的数学期望?】
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问题描述：
将n只球放入m只盒中,设每只球落入各个盒中是等可能的,求有球的盒子数x的数学期望?
黄特伟回答：
首先,有m>=x,n>=x,x>=1,否则期望为0；
样本点总数：m^n(这表示m的n次方)
有效样本点数：P(x,x)*C(m,x)*(x^(n-x))
其中：
P(x,x)是x的全排列,也就是(x!)；
C(m,x)是从m个盒子里取x个盒子的取法
C(m,x)=(m!)/(x!*(m-x)!)；
大家都知道期望=有效样本点数/样本点总数
因此结果=P(x,x)*C(m,x)*(x^(n-x))/m^n
因为每放入一个球都有m种选择,根据乘法原则,样本点总数为m^n.
而有效的样本点数,一定是有而且只x个盒子里有球,因此,首先选出x个盒子,即C(m,x),然后,这x个盒子里都至少有一个球,这x个球按什么顺序都行,因此有P(x,x)种可能,最后还剩了(m-x)个球,这些球可以在这x个盒子里随便放,因此有(x^(n-x))中可能.
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