【数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射】
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问题描述：
数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射
陈勉回答：
用反证法,假设存在连续双射f:R²→[0,1].
由f是满射,则存在(a,b),(c,d)∈R²使f(a,b)=0,f(c,d)=1.
不难构造连续映射g,h:[0,1]→R²,使g(0)=h(0)=(a,b),g(1)=h(1)=(c,d),
且对任意x,y∈(0,1),有g(x)≠h(y).
(实际上就是取两条(a,b)到(c,d)的连续曲线,并使二者在端点以外不相交).
可知复合映射fg,fh:[0,1]→[0,1]也连续,并满足fg(0)=fh(0)=0,fg(1)=fh(1)=1.
由介值定理,存在s,t∈(0,1)使fg(s)=1/2=fh(t).
但由f是单射,有g(s)=h(t),与g,h的选取矛盾.
因此不存在连续双射f:R²→[0,1].
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