【计算∫∫∫zdv,其中由不等式x^2+y^2+(z-a)^2】
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问题描述：
计算∫∫∫zdv,其中由不等式x^2+y^2+(z-a)^2
李江雄回答：
你的第一个球方程写错了吧?应该是x²+y²+(z-a)²≤a²,你写的a少了个平方
求两曲面交线为：z²+(z-a)²=a²,得：2z²-2az=0,则z=a
用竖坐标为z的平面截立体,
积分区域为下半部分是Ω₁：圆锥x²+y²≤z²,截面：x²+y²=z²
上半部分是半球Ω₂：x²+y²+(z-a)²≤a²,截面：x²+y²=a²-(z-a)²
∫∫∫zdv
=∫∫∫(Ω₁)zdv+∫∫∫(Ω₂)zdv
=∫[0---->a]zdz∫∫dxdy+∫[a---->2a]zdz∫∫dxdy
=∫[0---->a]z*πz²dz+∫[a---->2a]z*π(a²-(z-a)²)dz
=(π/4)z⁴|[0---->a]+π∫[a---->2a](2az²-z³)dz
=πa⁴/4+(2πa/3)z³-(π/4)z⁴|[a---->2a]
=πa⁴/4+(16πa⁴/3)-16πa⁴/4-(2πa⁴/3)+(πa⁴/4)
=7πa⁴/6
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