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在数列{An}中,A1=1,An+1=2An+2^n.(n+1为角标.)求数列{An}的前n项和Sn.从“a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1,为定值。”到“an=n×2^(n-1)”这有点不懂,
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问题描述:

在数列{An}中,A1=1,An+1=2An+2^n.(n+1为角标.)求数列{An}的前n项和Sn.

从“a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1,为定值。”到“an=n×2^(n-1)”这有点不懂,

龚绍润回答:
  a(n+1)=2an+2^n   等式两边同除以2^n   a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1   a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1,为定值.   a1/2^(1-1)=1/1=1   数列{an/2^(n-1)}是以1为首项,1为公差的等差数列.   an/2^(n-1)=1+n-1=n   an=n×2^(n-1)   Sn=a1+a2+...+an=1×2^0+2×2^1+3×2^2+...+n×2^(n-1)   2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n   Sn-2Sn=-Sn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n-1)/(2-1)-n×2^n=(1-n)×2^n-1   Sn=(n-1)×2^n+1   ^表示指数,用错位相减法.
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