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若函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若f(-3)=a,用a表示f(12).
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问题描述:

若函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),

(1)试判断f(x)的奇偶性;

(2)若f(-3)=a,用a表示f(12).

龚德文回答:
  (1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称.   又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),   ∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.   再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),   ∴f(-x)=-f(x),   ∴f(x)为奇函数.   (2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,   ∴f(3)=-f(-3)=-a.   又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,   ∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.   故f(12)=-4a.
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