(1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称.
又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.