20、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线C：y^2=2px的准线方程为x=-1,M（1,-3）,N（5,1）,向量NP=t向量NM若动点P满足,且点P的轨迹与抛物线C交于A,B两点.（1）求证：向量OA⊥向量OB；（2）
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问题描述：
20、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线C：y^2=2px的准线方程为x=-1,M（1,-3）,N（5,1）,向量NP=t向量NM若动点P满足,且点P的轨迹与抛物线C交于A,B两点.
（1）求证：向量OA⊥向量OB；
（2）在x轴上是否存在一点Q（m,0）(m≠0),使得过点Q的直线交抛物线C于D,E两点,且以线段DE为直径的圆都过原点?若存在,求出以线段DE为直径的圆的圆心的轨迹方程；若不存在,请说明理由.
梁伟成回答：
（1）抛物线C：y^2=2px的准线方程为x=-1，∴p=2,y^2=4x,①M（1，-3），N（5,1），向量NP=t向量NM，设P(x,y),则（x-5,y-1)=t(-4,-4),∴x-5=y-1,x=y+4,②把②代入①，y^2-4y-16=0,y1=2-2√5，y2=2+2√5，代入②，x1=6-2√5，x2=6+2√5，向量OA*OB=x1x2+y1y2=16-16=0,∴OA⊥OB.(2)设DE:x=ny+m,③代入①，y^2-4ny-4m=0,设D(x3,y3),E(x4,y4),则y3+y4=4n,y3y4=-4m,由③，x3x4=(ny3+m)(ny4+m)=n^2y3y4+mn(y3+y4)+m^2,以线段DE为直径的圆都过原点,OD*OE=x3x4+y3y4=(n^2+1)y3y4+mn(y3+y4)+m^2=-4m(n^2+1)+4mn^2+m^2=m(m-4)=0,m≠0，∴m=4.以线段DE为直径的圆的圆心:y=(y3+y4)/2=2n,代入③，x=2n^2+4,∴y^2=2(x-4)是以线段DE为直径的圆的圆心的轨迹方程.
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