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设f(x)=lnx.(1)若α∈(0,1),求g(x)=αlnx+(1-α)ln(1-x)最大值;(2)已知正数α,β满足α+β=1.求证:αf(x1)+βf(x2)≤f(αx1+βx2);(3)已知xi>0,正数αi满足ni=1αi=1.证
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问题描述:

设f(x)=lnx.

(1)若α∈(0,1),求g(x)=αlnx+(1-α)ln(1-x)最大值;

(2)已知正数α,β满足α+β=1.求证:αf(x1)+βf(x2)≤f(αx1+βx2);

(3)已知xi>0,正数αi满足ni=1αi=1.证明:ni=1αilnxi≤lnni=1αixi(其中i=1,2,…n).

蒲建回答:
  (1)∵g(x)=αlnx+(1-α)ln(1-x),∴g′(x)=αx+(1−α)•−11−x=α−xx(1−x)(0<x<1),∴当x∈(0,α)时,g'(x)>0,当x∈(α,1)时,g'(x)<0.即g(x)在(0,α)上递增,在(α,1)递减...
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《设f(x)=lnx.(1)若α∈(0,1),求g(x)=αlnx+(1-α)ln(1-x)最大值;(2)已知正数α,β满足α+β=1.求证:αf(x1)+βf(x2)≤f(αx1+βx2);(3)已知xi>0,正数αi满足ni=1αi=1.证|其它问答-字典翻译问答网》
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