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考虑一元函数f(x)有下列四条性质①f(x)在[a,b]上连续;②f(x)在[a,b]上可积;③f(x)在[a,b]内可导;④f(x)在[a,b]存在原函数,如果用“P⇒Q”表示可由性质P推出性
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问题描述:

考虑一元函数f(x)有下列四条性质

①f(x)在[a,b]上连续; ②f(x)在[a,b]上可积;

③f(x)在[a,b]内可导; ④f(x)在[a,b]存在原函数,

如果用“P⇒Q”表示可由性质P推出性质Q,则有()

A.①⇒②⇒④

B.①⇒④⇒②

C.③⇒①⇒②

D.③⇒④⇒①

郭立伟回答:
  ①⇒②:利用可积的充要条件可知,如果函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.   但反之不然,例如:f(x)=sgnx在[-1,1]上可积,但是sgnx在x=0处不连续.   ③⇒①:由导数的定义式可知,如果函数f(x)在x0处可导,则f(x)在x0处连续;从而,f(x)在[a,b]内可导⇒f(x)在[a,b]内连续.   但反之不然,例如:f(x)=|x|在[-1,1]上连续,但在x=0处不可导.   需要特别注意的是,②与④并不是等价的.   利用牛顿-莱布尼兹公式可得,如果f(x)在[a,b]上可积,且f(x)在[a,b]存在原函数F(x),则   ∫baf(x)dx
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