【相对论速度叠加公式我自己推导的错哪了?参考系x'以速度v相对于x运动参考系中一物体以速度u相对x'运动求u相对地面速度f我的证明是假设物体u是质点在t时刻x'位移vt在x'内部质点位移ut】
1人问答
问题描述：
相对论速度叠加公式我自己推导的错哪了?
参考系x'以速度v相对于x运动参考系中一物体以速度u相对x'运动
求u相对地面速度f
我的证明是假设物体u是质点在t时刻x'位移vt在x'内部质点位移ut'考虑到尺度收缩和时间变化在静止看来是ut√(1-u^2/C^2)√(1-U^2/C^2)而整个参照系x'位移vtu相对地面位移是vt+ut(1-u^2/C^2)所以合成速度是v+u(1-u^2/C^2)此公式成立的条件仅仅在质点位于x'零点且与参照系x'同时从零点运动
我错哪了```
符丽君回答：
速度加速度质量动量能量力的洛仑兹变换公式推导顺便都给你
1
首先给出坐标的洛仑兹变换公式
x'=γ(x-vt)x=γ(x'+vt)
y'=yy=y'
z'=zz=z'
t'=γ(t-vx/c^2)t=γ(t'+vx’/c^2)
2
推导速度的洛仑兹变换公式
由t'=γ(t-vx/c^2)t=γ(t'+vx’/c^2)可知
dt/dt'=1/γ(1-vUx/c^2)=γ(1+vUx'/c^2)此式备用
Ux'=dx'/dt'=(dx'/dt)(dt/dt')
dx'/dt=d[γ(x-vt)]/dt=γ(Ux-v)再带入(dt/dt')=1/γ(1-vUx/c^2)
Ux'=γ(Ux-v)/γ(1-vUx/c^2)=(Ux-v)/(1-vUx/c^2)
同理Uy'=Uy/γ(1-vUx/c^2)=Uy/γ(1-vUx/c^2)
Uz'=Uz/γ(1-vUx/c^2)=Uz/γ(1-vUx/c^
把v换成-v,带'与不带'的量互换就可以得到逆变换
结论
Ux'=(Ux-v)/(1-vUx/c^2)Ux=(Ux'+v)/(1+vUx'/c^2)
Uy'=Uy/γ(1-vUx/c^2)Uy=Uy'/γ(1+vUx'/c^2)
Uz'=Uz/γ(1-vUx/c^2)Uz=Uz'/γ(1+vUx'/c^2)
3
推导加速度的洛仑兹变换公式
a_x'=dUx'/dt'=(dUx'/dt)(dt/dt')=
{d[(Ux-v)/(1-vUx/c^2)]/dt}(dt/dt')=
{[(dUx/dt)(1-vUx/c^2)-(Ux-v)(-dUx/dt)v/c^2)]/(1-vUx/c^2)^2}/γ(1-vUx/c^2)=a_x/γ^3(1-vUx/c^2)^3
a_y'=dUy'/dt'=(dUy'/dt)(dt/dt')=
{d[Uy/γ(1-vUx/c^2)]/dt}(dt/dt')=
{[(dUy/dt)γ(1-vUx/c^2)-γUy(-dUx/dt)v/c^2)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2}/γ(1-vUx/c^2)=[a_y+a_xUyv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2
同理a_z'=[a_z+a_xUzv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2
结论
a_x'=a_x/γ^3(1-vUx/c^2)^3
a_y'=[a_y+a_xUyv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2
a_z'=[a_z+a_xUzv/(c^2-vUx)]/γ^2(1-vUx/c^2)^2
a_x=a_x'/γ^3(1+vUx'/c^2)^3
a_y=[a_y'-a_x'Uy'v/(c^2+vUx')]/γ^2(1+vUx'/c^2)^2
a_z=[a_z'-a_x'Uz'v/(c^2+vUx')]/γ^2(1+vUx'/c^2)^2
4
质量能量变换公式
m=m0/(1-UU/cc)^(1/2)
m'=m0/(1-U'U'/cc)^(1/2)
m'=m(1-UU/cc)^(1/2)/(1-U'U'/cc)^(1/2)
其中(1-U'U'/cc)=1-(Ux'Ux'+Uy'Uy'+Uz'Uz')
带入速度变换公式可以得出
(1-U'U'/cc)^(1/2)=(1-UU/cc)^(1/2)/γ(1-vUx/c^2)
结论
m'=mγ(1-vUx/c^2)
m=m'γ(1-vUx/c^2)
再由E=mc^2E'=m'c^2可以得到
E'=Eγ(1-vUx/c^2)
E=E'γ(1-vUx/c^2)
5
动量能量变换公式
Px'=m'Ux'=mγ(1-vUx/c^2)*(Ux-v)/(1-vUx/c^2)=
γ(mUx-mv)=γ(Px-Ev/c^2)
Py'=m'Uy'=mγ(1-vUx/c^2)*Uy/γ(1-vUx/c^2)=Py
Pz'=Pz
E'=Eγ(1-vUx/c^2)=γ(E-EvUx/c^2)=γ(E-EvUx/c^2)=γ(E-vPx)
结论
Px'=γ(Px-Ev/c^2)Px=γ(Px'+E'v/c^2)
Py'=PyPy=Py'
Pz'=PzPz=Pz'
E'=γ(E-vPx)E=γ(E'+vPx')
6
力的洛仑兹变换公式
fx'=dPx'/dt=(dPx'/dt)(dt/dt')=[dγ(Px-Ev/c^2)/dt](dt/dt')=
γ[dPx/dt-(v/c^2)dE/dt](dt/dt')
dPx/dt是fx,dE/dt是fx的做功功率dE/dt=fxUx+fyUy+fzUz
带入可得
fx'=γ[fx-(v/c^2)(fxUx+fyUy+fzUz)]/γ(1-vUx/c^2)=
fx-(fyUy+fzUz)v/(c^2-vUx)
fy'=(dPy'/dt)(dt/dt')=(dPy/dt)(dt/dt')=fy/γ(1-vUx/c^2)
fz'=(dPz'/dt)(dt/dt')=(dPz/dt)(dt/dt')=fz/γ(1-vUx/c^2)
结论
fx'=fx-(fyUy+fzUz)v/(c^2-vUx)
fy'=fy/γ(1-vUx/c^2)
fz'=fz/γ(1-vUx/c^2)
fx=fx'+(fy'Uy'+fz'Uz')v/(c^2+vUx')
fy=fy'/γ(1+vUx'/c^2)
fz=fz'/γ(1+vUx'/c^2)
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