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【An=C(1,n)a1+C(2,n)a2+…C(n,n)an,若an=1+2+3+……+n(n∈N),试用n表示An.】
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问题描述:

An=C(1,n)a1+C(2,n)a2+…C(n,n)an,

若an=1+2+3+……+n(n∈N),试用n表示An.

康维新回答:
  C(k,n)ak=n!/((n-k)!*k!)*(k(k+1))/2   =(n-1)!/((n-k)!(k-1)!)*(n(k+1))/2   =C(k-1,n-1)*n/2*(k+1)   An=n/2*[C(0,n-1)*2+C(1,n-1)*3+……+C(n-1,n-1)*(n+1)]   =n/4*[C(0,n-1)*(n+3)+C(1,n-1)*(n+3)+……+C(n-1,n-1)*(n+3)]{逆序相加}   =n(n+3)/4*[C(0,n-1)+C(1,n-1)+……+C(n-1,n-1)]   =n(n+3)/4*2^(n-1)   =n(n+3)*2^(n-3)
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