设F是抛物线y^2=4x的焦点,A,B为抛物线上异于原点的两点,FA与FB垂直,延长AF,BF分别交于抛物线C,D,求ABCD四边形的最大面积
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问题描述：
设F是抛物线y^2=4x的焦点,A,B为抛物线上异于原点的两点,FA与FB垂直,延长AF,BF分别交于抛物线C,D,求ABCD四边形的最大面积
李陆世回答：
两直线垂直,焦点为(1,0),不妨设两直线为:y=k(x-1)与ky=1-x分别与抛物线方程连立(因为有两个交点,所以k≠0):y=k(x-1).(1)y^2=4x.(2)代入有k^2x^2-2k^2x+k^2-4x=0,k^2x^2-2(k^2+2)x+k^2=0|x1-x2|=√Δ/|a|=4√(k^2+1)/k^2弦长L1=√(k^2+1)|x1-x2|=4(k^2+1)/k^2同理,再连立一次ky=1-x.(1)y^2=4x.(2)代入有y^2=4-4ky,y^2+4ky-4=0|y1-y2|=√Δ/|a|=4√(k^2+1)弦长L2=√(k^2+1)|y1-y2|=4(k^2+1)两条直线相互垂直,这个四边形的面积S=0.5L1*L2=0.5*4×4(k^2+1)^2/k^2S=8[k^2+(1/k^2)+2]≥32当且仅当k=±1时等号成立,此时取到面积最小值为32,没有最大值
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