已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an－2(n=1,2,3...),数列{bn}中,b1=1,点(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上(1)求数列{an}{bn}的通项an和bn(2)记Sn=a1b1+a2b2+.+anbn,求Sn.
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问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an－2(n=1,2,3...),数列{bn}中,b1=1,点(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上
(1)求数列{an}{bn}的通项an和bn
(2)记Sn=a1b1+a2b2+.+anbn,求Sn.
陶劲草回答：
（1）由Sn=2an—2可得,当n=1时,S1=a1=2a1—2
解得a1=2又Sn-1=2an-1—2
则Sn—Sn-1=an=2an—2—（2an-1—2）=2an—2an-1
整理可得,an=2an-1,为等比数列,公比为q=2
故an=a1•qn-1=2•2n-1=2n,n∈N+
因为点（bn,bn+1）在直线x—y+2=0上,
则有bn—bn+1+2=0,即bn+1—bn=2
此数列为等差数列,公差为d=2,又b1=1
故bn=b1+(n—1)d=1+(n—1)•2=2n—1
当n=1时,b1=1则bn=2n—1,n∈N+
(2)由（1）可知an•bn=2n•(2n—1)=2n+1•n—2n
所以：
Sn=22•1—2+23•2—22+24•3—23+…+2n•(n—1)—2n-1+2n+1•n—2n
=23•1+24•2+…+2n•(n—2)+2n+1•n—2①
2Sn=24•1+25•2+…+2n+1•(n—2)+2n+2•n—4②
①式—②式,得
—Sn=23+24+25+…+2n+2n+1•2—2n+2•n+2
=2+(23—23•2n-2)／(1—2)+2n+2•(1—n)
=—6—2n+1•(2n—3)
综上,Sn=6+2n+1•(2n—3)解毕.
(在文档上解完粘贴上来效果不一样,楼主如若看不清楚,可留下邮箱,我可以将文档发给你)
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