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设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A,求①二次型xTAx的标准形;②行列式|E+A+A2+…+An|的值,其中E为单位矩阵.
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问题描述:

设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足A2=A,求

①二次型xTAx的标准形;

②行列式|E+A+A2+…+An|的值,其中E为单位矩阵.

饶仁回答:
  设Aα=λα(α≠0),则A2α=λ2α,又A2α=Aα=λα,故λ2α=λα⇒(λ2-λ)α=0⇒λ=1或者λ=0.由n阶实对称矩阵A的秩为r知,λ=1,λ=0分别为A的r重和n-r重特征值,故存在正交矩阵P,使得P−1AP=PTAP=ErOOO...
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