正态分布的可加性证明求助已知两个互相独立的正态分布随机变量X,Y;X~N(μ1,σ1),N(μ2,σ2),求证：aX+bY~N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)
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问题描述：
正态分布的可加性证明求助
已知两个互相独立的正态分布随机变量X,Y;X~N(μ1,σ1),N(μ2,σ2),
求证：aX+bY~N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)
程崇炎回答：
可以用定义证,这里给出一个更简单的证法,用特征函数证：
N(a,σ²)的特征函数为exp(iat-σ²t²/2)
因为X,Y独立
所以有f_(aX+bY)(t)
=f_(aX)(t)*f_(bY)(t)
=f_(X)(at)*f_(Y)(bt)
=exp(iμ1at-σ1²a²t²/2)*exp(iμ2bt-σ2²b²t²/2)
=exp(i(aμ1+bμ2)t-(a²σ1²+b²σ2²)t²/2)
这就是N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)的特征函数
由特征函数的唯一性知aX+bY~N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²)
注：以上“_(X)”,“_(Y)”,“_(aX+bY)”,“_(aX)”,“_(bY)”表示相应的下标,我不知道在这里怎么实现.
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