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设函数f(x)=a^x-(k-1)a^(-x)(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.1.求k值2.若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式f(x^2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围.3.若f(1)=1.5,g(x)=a^2x+a^
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问题描述:

设函数f(x)=a^x-(k-1)a^(-x)(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.

1.求k值

2.若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式f(x^2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围.

3.若f(1)=1.5,g(x)=a^2x+a^(-2x)-2mf(x)且g(x)在【1,+∞】上的最小值为-2,求m的值.

芦帅回答:
  (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数   所以f(0)=0亦即1-(k-1)=0,即k=2   (2)函数f(x)=a^x-a^-x(a>0且a≠1),   因为f(1)<0,所以a-1/a<0,又a>0,所以1>a>0   由于y=a^x单调递减,y=a^-x单调递增,故f(x)在R上单调递减.   不等式化为f(x^2+tx)<f(x-4).   所以x^2+tx>x-4,即x^2+(t-1)x+4>0恒成立   即有(t-1)^2-16<0,解得-3<t<5   (3)因为f(1)=3/2a-1/a=3/2   即2a2-3a-2=0,所以a=2,或a=1/2(舍去)   所以g(x)=2^2x+2^(-2x)-2m(2^x-2^-x)=(2^x-2^-x)^2-2m(2^x-2^-x)+2.   令t=f(x)=2^x-2^-x,是增函数.   因为x≥1,所以t≥f(1)=3/2   令h(t)=t^2-2mt+2=(t-m)^2+2-m^2 (t≥3/2)   ​​   若m≥3/2,当t=m时,h(t)min=2-m^2=-2,即m=2   若m<3/2,当t=3/2时,h(t)min=17/4-3m=-2,解得m=25/12>3/2,(舍去)   综上可知m=2
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