【设an是公差不为0的等差数列,sn是其前n项和,已知s1与(1/7)S7的等比中项为(1/3)S3,且S1与(1/3)S3的等差中项是3,⑴求数列an的通项公式⑵求等比数列bn,满足b1=S1,b2=(1/3)S3,求和Tn=a1b1+a2b2+…anbn】
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问题描述：
设an是公差不为0的等差数列,sn是其前n项和,已知s1与(1/7)S7的等比中项为(1/3)S3,且S1与(1/3)S3的等差中项是3,⑴求数列an的通项公式⑵求等比数列bn,满足b1=S1,b2=(1/3)S3,求和Tn=a1b1+a2b2+…anbn
钱焕延回答：
设{a‹n›}是公差不为0的等差数列,S‹n›是其前n项和,已知S₁与(1/7)S₇的等比中项为(1/3)S₃,且S₁与(1/3)S₃的等差中项是3；⑴求数列{a‹n›}的通项公式；⑵求等比数列{b‹n›},满足b₁=S₁,b₂=(1/3)S3,求和T‹n›=a₁b₁+a₂b₂+…a‹n›b‹n›
(1).S₁=a₁；S₇=7a₁+21d,故(1/7)S₇=a₁+3d；S₃=3a₁+3d,故(1/3)S₃=a₁+d；
已知S₁与(1/7)S₇的等比中项为(1/3)S₃,故有等式：
(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)；展开化简即得d²-a₁d=d(d-a₁)=0,已知d≠0,故必有d=a₁；
又S₁与(1/3)S₃的等差中项是3,故得2a₁+d=3a₁=6,a₁=d=2；
于是得通项公式为a‹n›=2+2(n-1)=2n；
(2).b₁=S₁=a₁=2；b₂=(1/3)S₃=a₁+d=2a₁=4；故公比q=4/2=2；通项b‹n›=2ⁿ；
于是得a‹n›b‹n›=2[n×(2ⁿ)]；
故T‹n›=2[1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+5×2⁵+.+(n-1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ].(1)
2T‹n›=2[1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+5×2⁶+.+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹].(2)
(1)-(2)得：【错项相减】
-T‹n›=2[2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+.+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹]=2[2(2ⁿ-1)-n×2ⁿ⁺¹]
故T‹n›=2n×2ⁿ⁺¹-4(2ⁿ-1)=4n×2ⁿ-4×2ⁿ+4=4[(n-1)2ⁿ+1]
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