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高二数学已知直线2x+y=5与圆O:x^2+y^2=r^2相切直线L圆O相交于AB两点,若圆O上存在C点,使得OC的向量=OA的向量+OB的向量=λa的向量,其中a的向量=(-1,2),求直线L的方程及对应点C的坐标
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问题描述:

高二数学

已知直线2x+y=5与圆O:x^2+y^2=r^2相切

直线L圆O相交于AB两点,若圆O上存在C点,使得OC的向量=OA的向量+OB的向量=λa的向量,其中a的向量=(-1,2),求直线L的方程及对应点C的坐标

蔡治平回答:
  由直线2x+y=5与圆O:x^2+y^2=r^2相切,得直线与O之间的距离等于1,故r=1,圆O为单位圆.   由于OC=OA=OB=1,且OC的向量=OA的向量+OB的向量,所以四边形OBCA为菱形,   所以AB垂直于OC,且AB过OC之中点D.   又因OC的向量=λa的向量,a的向量=(-1,2),   故单位圆上点C的坐标:x=-1/根号5,y=2/根号5   据上述,OC的中点D的坐标为x=-1/根号20,y=1/根号5.   由OC的向量=λa的向量,且a的向量=(-1,2),得OC的斜率KOC=-2/1=-2,所以AB的斜率为KAB=1/2.   所以所求AB的方程为:y-1/根号5=1/2(x+-1/根号20)
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