【高二数学：已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点.求|AB|最高二数学：已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点.求|AB|最大值】
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问题描述：
高二数学：已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点.求|AB|最
高二数学：已知椭圆x^2+y^2=4,过点P(1,0)作一条直线交椭圆于AB两点.
求|AB|最大值
矫宏硕回答：
那题目就是，2x^2+y^2=4...
过点P(1,0)的直线为，y=k(x-1),
直线和椭圆有2个交点。
设这2个交点的横坐标分别为，x(1)和x(2)
则x(1),x(2)应满足如下的方程
4=2x^2+y^2=2x^2+[k(x-1)]^2=2x^2+k^2(x^2-2x+1),
0=(2+k^2)x^2-2k^2x+k^2-4.
Delta=(2k^2)^2-4(2+k^2)(k^2-4)=4k^4-4(k^4-2k^2-8)=4(2k^2+8)>0,
因此，
x(1)=[2k^2+2(2k^2+8)^(1/2)]/(4+2k^2)=[k^2+(2k^2+8)^(1/2)]/(2+k^2)或
x(2)=[2k^2-2(2k^2+8)^(1/2)]/(4+2k^2)=[k^2-(2k^2+8)^(1/2)]/(2+k^2).
x(1)-x(2)=2(2k^2+8)^(1/2)/(2+k^2).
|AB|^2=[x(1)-x(2)]^2+[kx(1)-k-kx(2)+k]^2=(k^2+1)[x(1)-x(2)]^2
=(k^2+1)[4(2k^2+8)/(2+k^2)^2]
=8(k^2+1)(k^2+4)/(k^2+2)^2
=8(k^2+2-1)(k^2+2+2)/(k^2+2)^2
=8(t-1)(t+2)/t^2,t=k^2+2>=2.
=8(t^2+t-2)/t^2
=8(1+1/t-2/t^2)
=8(1+u-2u^2),u=1/t,0
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