设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.
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问题描述：
设微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x,求其满足条件y|x-ln2=0的特解.
刘健荣回答：
微分方程xy'+p(x)y=x的一个特解为y^+=e^x可求得p(x)=x(1-e^x)/e^x(1)
将(1)代入微分方程xy'+p(x)y=x可求出其齐次方程的通解为y=Ce^[x+e^(-x)](其中C为任意常数)
所以可设微分方程xy'+p(x)y=x的通解为y=u(x)e^[x+e^(-x)](2)
将(2)代入微分方程xy'+p(x)y=x可求出其通解为y=Ce^[x+e^(-x)]+e^[x+e^(-x)]f(x)
其中f(x)为e^[x+e^(-x)]的不定积分
根据条件y|x-ln2=0可求得特解为y=C{e^[x+e^(-x)]+(ln2)e^x}(其中C为任意常数)
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