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【这个数学题的第二小题怎么解?(复旦2003保送)定义闭集合S,若a,b∈S,则a+b∈S,a-b∈S.(2)求证:对任意两个闭集合S1,S2属于S,存在c属于R,但c不属于S1并S2.PS:符号不好打,用文字代替了,见谅】
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问题描述:

这个数学题的第二小题怎么解?(复旦2003保送)

定义闭集合S,若a,b∈S,则a+b∈S,a-b∈S.

(2)求证:对任意两个闭集合S1,S2属于S,存在c属于R,但c不属于S1并S2.

PS:符号不好打,用文字代替了,见谅

蔡艳宁回答:
  条件是S1,S2包含于R?如果是包含于的话,结论是错误的,因为此时可以取S1=S2=R   如果条件式S1,S2真包含于R,结论就相当于需要证明S1并S2不等于R,分情况讨论:   首先,由闭集合的定义可以得到以下结论:   (a)令a=b,则0=a-b∈S   (b)若a∈S,令k为整数,则ka∈S   然后定义一个概念:   集合的基:若a∈S,且a/2不属于S,且a不等于0,则称a是S的一个基(比如整数集合,1就是一个基,-1也是基,一个闭集合中可以有多个不同的基)   再讨论:   (A)若S1,S2之间存在包含关系,结论显然成立   (B)若S1与S2之间不存在包含关系,则存在x∈S1且x不属于S2且x是S1的一个基(这个结论可以用反证法证明),则显然x/2就不属于S1,x/2也不能属于S2(否则的话x将属于S2),但x/2属于R   综上,结论成立   不懂的欢迎追问,
白敏回答:
  为什么要用x/2呢?而不是x/3或者x/5?
蔡艳宁回答:
  因为有S1和S2呀
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