试着写出数列{Xn}n=1到正无穷不以常数a为极限的数学定义,并以此考虑{(-1)^n}n=1到正无穷极限不存在
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问题描述：
试着写出数列{Xn}n=1到正无穷不以常数a为极限的数学定义,并以此考虑{(-1)^n}n=1到正无穷极限不存在
高颖回答：
数列x(n)不以常数a为极限；
对任意的常数a,数列x(n)不以a为极限的定义：
存在某个ε>0,使得对任意的自然数N,总存在一个自然数n,满足n>N,
使得|x(n)-a|>=ε；这就是数列x(n)不以常数a为极限的定义.
考虑数列b(n)=(-1)^n,其中b(1)=-1,b(2)=1,b(3)=-1,b(4)=1,.
显然b(n)极限不存在,当然也不以任何常数为极限；用定义证明如下
对任给一个常数a,①如果a≠1,那么就取ε=|a-1|/2>0,对任意的自然数N,
都能找到一个偶数n（事实上所有大于N的偶数都可以）,满足n>N,有
|x(n)-a|=|1-a|=2ε>ε,这样就按定义证明了b(n)不以a为极限.
②如果a≠-1,类似于①中的方法,取ε=|a-(-1)|/2=|a+1|/2>0,对任意的自然数N,
都能找到一个奇数n（事实上所有大于N的奇数都可以）,满足n>N,有
|x(n)-a|=|-1-a|=|a+1|=2ε>ε,这样也按定义证明了b(n)不以a为极限.
综上所述,对任意常数a,数列b(n)=(-1)^n不以a为极限.由于是摆动数列,(-1)^n极限不存在.
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