已知N为大于1的整数，求证N的立方可写成两个正整数的平方差，该怎么做？
3人问答
问题描述：
已知N为大于1的整数，求证N的立方可写成两个正整数的平方差，该怎么做？
刘栋回答：
证明：n^3=a^2-b^2
n^3可以看作n*n^2，设两个正整数的平方差表示为a^2-b^2，根据平方差公式把它变形为(a+b)*(a-b)，则原命题转化成n*n^2=(a+b)*(a-b)
因为n是大于1的正整数，a，b也都为正整数，可知(a+b)>(a-b),n^2>n
那么只要保证(a+b)=n^2
(a-b)=n
原命题就得证了。
解出这个方程组：a=(n^2+n)/2
b=(n^2-n)/2
也就是说分解成的a，b两个数只要满足a=(n^2+n)/2
b=(n^2-n)/2
就可保证n^3=a^2-b^2成立
事实上，这两个等式分别可看作以n为变量，a，b分别是n对应的函数值，为两条抛物线，就是说只要n给定一个正整数值，a，b分别有且只有一个正整数值与之对应。（无论n是奇数还是偶数，n^2与n必定同奇同偶，两者相加或相减则必为偶数，所以不必担心a，b可能不是正整数）然后根据上面式子倒推上去，得到n^3=a^2-b^2
高洁萍回答：
n^3=a^2b^2=(a+b)(a-b)=n^2*n
则不妨设a+b=n^2
a-b=n
a=(n^2+n)/2=n(n+1)/2
b=(n^2-n)/2=n(n-1)/2
因为n和n+1是相邻整数，所有必有一个是偶数，所以n(n+1)是偶数，所以a是正整数
同理b也是正整数
所以n^3可以写成两个正整数的平方差
高玄怡回答：
证明：n^3=a^2-b^2
n^3可以看作n*n^2，设两个正整数的平方差表示为a^2-b^2，根据平方差公式把它变形为(a+b)*(a-b)，则原命题转化成n*n^2=(a+b)*(a-b)
因为n是大于1的正整数，a，b也都为正整数，可知(a+b)>(a-b),n^2>n
那么只要保证(a+b)=n^2
(a-b)=n
原命题就得证了。
解出这个方程组：a=(n^2+n)/2
b=(n^2-n)/2
也就是说分解成的a，b两个数只要满足a=(n^2+n)/2
b=(n^2-n)/2
就可保证n^3=a^2-b^2成立
事实上，这两个等式分别可看作以n为变量，a，b分别是n对应的函数值，为两条抛物线，就是说只要n给定一个正整数值，a，b分别有且只有一个正整数值与之对应。（无论n是奇数还是偶数，n^2与n必定同奇同偶，两者相加或相减则必为偶数，所以不必担心a，b可能不是正整数）然后根据上面式子倒推上去，得到n^3=a^2-b^2
Q.E.D
举例说明：当n=7（我的幸运数字）时，a=(7^2+7)/2=28
b=(7^2-7)/2=21
则a^2-b^2=28^2-21^2=(28+21)*(28-21)=49*7=7^2*7=7^3
这里他为什么要规定n要是大于1的正整数呢？那是因为当n=1时，a=(1^2+1)/2=1,b=(1^2-1)/2=0,则a^2-b^2=1^2-0^2，零不能作为底数，这个式子是没有意义的，所以n=1不符合这个定理
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