高数:一道积分题1/(ax^2+b)^2的积分?积分表上有最后结果,我纠结了好几天了~没有限定的,积分表上写的是原式=x/[2b(ax^2+b)]+1/2b*∫dx/(ax^2+b)其中∫dx/(ax^2+b)的值需要对b分情况讨论,后面没有问题,
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问题描述：
高数:一道积分题
1/(ax^2+b)^2的积分?积分表上有最后结果,我纠结了好几天了~
没有限定的,积分表上写的是原式=x/[2b(ax^2+b)]+1/2b*∫dx/(ax^2+b)
其中∫dx/(ax^2+b)的值需要对b分情况讨论,后面没有问题,主要是原式=x/[2b(ax^2+b)]+1/2b*∫dx/(ax^2+b)的推导过程,
柳星回答：
分步积分
我们知道,对于u=fg的函数全微分是du=fdg+gdf
所以有gdf=du-fdg,加上积分符号就是∫gdf=∫du-∫fdg=u-∫fdg
具体到你的问题,可以设u=-1/(2ax(ax^2+b)),其中f=1/[(ax^2+b)],g=-1/2ax
顺便说一句,你的题目出自课本还是练习,还是参考数啥的?管他出自哪里,肯定是本烂书,根本不想让你搞明白.
原式=∫-1/2ax*d(1/(ax^2+b))=-1/(2ax*(ax^2+b))-1/2∫1/(ax^2*(ax^2+b))*dx
=-1/(2ax*(ax^2+b))-1/(2b)∫1/ax^2-1/(ax^2+b)dx=1/2b*∫dx/(ax^2+b)+1/2abx-1/2ax(ax^2+b)
其中1/2abx-1/2ax(ax^2+b)化简后就是x/[2b(ax^2+b)]
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