我在实际中遇到一个问题将它抽象为数学问题如下：有3000个小球,每次从中随机抽取100个小球再放回问要抽多少次才可能抽到不相同的2000个球?这个问题如果考虑极端情况,至少20次,至多无限
1人问答
问题描述：
我在实际中遇到一个问题将它抽象为数学问题如下：
有3000个小球,每次从中随机抽取100个小球再放回问要抽多少次才可能抽到不相同的2000个球?
这个问题如果考虑极端情况,至少20次,至多无限多次也抽不遍2000个球,求一个合理次数?
不好意思就这些分了
史晓晨回答：
回答：
假设共抽取了n次.我们来计算被抽取至少1次的小球的个数X的期望值E(X;n).
每抽取一次,一个小球不被抽取的概率是(1-100/3000)=(1-1/30)=29/30;n次都未被抽取的概率就是(29/30)^n.换句话说,一个小球被抽取至少一次的概率是1-(29/30)^n.于是,E(X,n)=3000[1-(29/30)^n].如果要求E(X,n)＝2000,就是解方程
3000[1-(29/30)^n]＝2000.
解得n≈32.
这个意思是说,如果在一次试验中,共抽取32次,那么重复进行许多次试验,则被抽取至少一次的小球的个数X的平均值为2000.
另外,不难看出
E(X;n=1)=100;
E(X;n=∞)=3000.
事实上,E(X;n=300)就非常接近3000了.
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