已知斜率为1的直线l与双曲线C：交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b2-a2取值范围．
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问题描述：
已知斜率为1的直线l与双曲线C：交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b2-a2取值范围．
丁洪起回答：
【答案】分析：（Ⅰ）写出直线l的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点B，D的横坐标的和，结合BD的中点为M（1，3）列式求得C的离心率；（Ⅱ）化简双曲线的方程，进一步把B，D两点的横坐标的和与积用仅含a的代数式表示，用两点间的距离公式写出|BF|和|DF|，代入|DF|•|BF|≤17，然后把根与系数的关系代入得到含有a的不等式，求解不等式得到a的取值范围，则b2-a2取值范围可求．（I）由题知，l的方程为：y=x+2．代入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0．设B（x1，y1）、D（x2，y2）则 ①由M（1，3）为BD的中点知，故，即b2=3a2 ②故，所以C的离心率；（II）由①、②知C的方程为：3x2-y2=3a2．F（2a，0），．故不妨设x1≤-a，x2≥a，|FD|=，|BF|•|DF|=（a-2x1）（2x2-a）==．又|BF|•|DF|≤17，故5a2+4a+8≤17，解得，故0＜a≤1．由e=2，得b2=3a2，故b2-a2=2a2∈（0，2]．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是高考的重点，常以压轴题的形式出现，往往采用“设而不求”的解题方法，解答的关键是正确利用方程的根与系数的关系，有时运算量较大，要求学生有较强的计算能力，是难题．
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