有一题初三数学题不会做老师同学快来帮帮忙啊我在线等（2009•湖州）已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交|初中数学问答-字典翻译问答网

有一题初三数学题不会做老师同学快来帮帮忙啊我在线等（2009•湖州）已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交

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问题描述：

有一题初三数学题不会做老师同学快来帮帮忙啊我在线等（2009•湖州）已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=12x-a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

高贤志回答：

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　　（1）由y=x²-2x+a=(x-1)²+a-1可知M的坐标为(1，a-1)又因为抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，所以A的坐标为(0，a)设直线AM：y=kx+a当x=1时，y=a-1,即k+a=a-1所以k=-1所以直线AM：y=-x+a则关于直线AM：y=-x+a和直线BC：y=12x-a的交点N有-x+a=12x-ax=2a/13y=-x+a=-2a/13+a=11a/13所以N的坐标为(2a/13，11a/13)（2）将△NAC沿y轴翻折，点N的对应点N′的坐标为：(-2a/13，11a/13)若该点恰好落在抛物线上，则有y=x²-2x+a11a/13=(-2a/13)²+4a/13+a2a²+39a=0a(2a+39)=0a1=0a2=-39/2因为a＜0所以a=-39/2所以N的坐标为(-3，-33/2)另因为直线AM：y=-x+a，所以直线AN′：y=x+a即：y=x-39/2所以D(39/2，0)四边形ADCN中，AC=|2a|=39N和D的横向距离为：39/2-(-3)=45/2所以四边形ADCN的面积：1/2×39×45/2=1755/4=438.75（3）分以下两种情况讨论：第一种情况：若P在y轴左边时，（注：AC在y轴，PN平行y轴）AC和PN对边AC=PN=-2a（a＜0）所以P在N上时，(2a/13，-15a/13)或P在N下时，(2a/13，37a/13)在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=2a/13，y=-15a/13时，有-15a/13=4a²/169+9a/13a=-78所以P的坐标为(-12，90)在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=2a/13，y=37a/13时，有37a/13=4a²/169+9a/13a=91(与题意不符)第二种情况：若P在y轴右边时，(注：P点坐标需满足直线AP、直线CP和抛物线)AP和CN对边，此时，AP的斜率等于BC的斜率，可知AP直线：y=12x+aCP和AN对边，此时，CP的斜率等于AN的斜率，可知CP直线：y=-x-a可得：12x+a=-x-ax=-2a/13y=-x-a=-11a/13在y=x²-2x+a（a＜0）中，当x=-2a/13，y=-11a/13时，有-11a/13=4a²/169+17a/13a=-169所以P的坐标为(26，143)综上所述，当a=-78时，P的坐标为(-12，90)当a=-169时，P的坐标为(26，143)