存在这样的实数.设该实数是a.则y1≤y2,即6a≤3a2+3,解得(a-1)2≥0,∴a是任意实数,且当a=1时取“=”;当a=1时,y=6,即点(1,6)满足y1≤y2≤y3,将点(1,6)代入二次函数y3=x2+bx+c,得6=1+b+c,①又∵二次函数y3=x2+bx+c,其图象经过点(-4,1),∴1=16-4b+c,②由①②解得,b=4,c=1,∴函数y3的解析式为:y=x2+4x+1;∴3a2+3≤a2+4a+1,解得,(a-1)2≤0,显而易见,这是错误的,所以点a不适合.所以,不存在这样的任意实数a,使y1≤y2≤y3成立.