证明若A、B是两个实对称的n阶正定矩阵,则AB亦然
1人问答
问题描述：
证明若A、B是两个实对称的n阶正定矩阵,则AB亦然
解云峰回答：
题目不对吧如A=(10)B=(31)则AB=(31)都不对
(02)(14)(28)
称更别说正定了(上面是3个2阶方阵打不好上下对不齐)
我觉得原题是说AB特征植大于0
证明AB正定存在PQ可逆A=P*TPB=Q*TQ(这里用T表转置)
则DET(xI-AB)=DET(xI-P*TP*Q*TQ)=DET(xI-TP*Q*TQ*P)
这里用到DET(xI-XY)=DET(xI-YX)这个等式应该学过吧
则因为TP*Q*TQ*P显然正定所以DET(xI-TP*Q*TQ*P)=0根全为正数
所以DET(xI-AB)=0根全为正数所以AB特征值大于0
刚才没想好想繁了其实AB相似于(不一定正交相似)对角阵
且对角元正这是因为A=P*TP所以AB相似于P逆*A*B*P=
TP*B*P=TP*Q*TQ*P正交所以相似于对角阵且对角元正
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