一道多元函数微积分题目求方程x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0所确定的函数z=f(x,y)的极值.原式里面的Z该怎么处理呢？
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问题描述：
一道多元函数微积分题目
求方程x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0所确定的函数z=f(x,y)的极值.
原式里面的Z该怎么处理呢？
娄海涛回答：
x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0
分别对上面等式两边求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y.
对x求偏导得：
2x+y^2+2z·∂z/∂x-2-4y-6·∂z/∂x=0
整理：∂z/∂x=(2x+y^2-4y-2)/(6-2z)；
对y求偏导得：
x^2+2y+2z·∂z/∂y-2x-4-6·∂z/∂y=0
整理：∂z/∂y=(x^2-2x+2y-4)/(6-2z).
令：
∂z/∂x=0
∂z/∂y=0
再和原方程联立方程组：
(2x+y^2-4y-2)/(6-2z)=0；
(x^2-2x+2y-4)/(6-2z)=0；
x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-2=0.
解方程组：
太麻烦了,你自己解吧,解出来x和y,判断驻点,求出极值.
过程中把z看作函数,求导时除了按正常规则求导外,还得进行求一次z对x或y的导数.如：
z^3中对x求偏导：
3z^2(这是常规求导),还得求一次z对x的导数∂z/∂x,
所以最后结果是：3z^2·∂z/∂x
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