设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵
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问题描述：
设A是n阶方阵,若有正整数k,使得A^k=E,证明A相似于对角矩阵
冯明琴回答：
因为A^k=E所以A可逆,即A的特征根非零.
如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在两个非零向量x1,x2,及一个非零特征根a,使得：
Ax2=ax2,Ax1=ax1+x2.
则:
A^2x1=A(ax1+x2)=a^2x1+2ax2
A^3x1=A(a^2x1+2ax2)=a^3x1+3a^2x2
.
A^kx1=A(a^(k-1)x1+(k-1)a^(k-2)x2)=a^kx1+ka^(k-1)x2
A^k=E==>A^kx1=x1,===>ka^(k-1)=0,矛盾!
所以A可以对角化,即A相似于对角矩阵
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