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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx+n经过点A(-4,0)和点B(0,3),(1)求抛物线的解析式;(2)向右平移上述抛物线,若平移后的抛物线仍经过点B,求平移后抛物线的解析式
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问题描述:

如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx+n经过点A(-4,0)和点B(0,3),

(1)求抛物线的解析式;

(2)向右平移上述抛物线,若平移后的抛物线仍经过点B,求平移后抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,试问:在平移后的抛物线上是否存在一点P,使△OA′P的面积与四边形AA′B′B的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

林家齐回答:
  ,   解得:.   即抛物线的解析式为:.   (2)令y=3,得,得x1=0,x2=-2,   ∵抛物线向右平移后仍经过点B,   ∴抛物线向右平移2个单位,   ∵==,   ∴平移后的抛物线解析式为.   (3)由抛物线向右平移2个单位,得A'(-2,0),B'(2,3),   又∵四边形AA'B'B为平行四边形,   ∴其面积=AA'•OB=2×3=6,   设P点的纵坐标为yP,由△OA'P的面积=6,   故可得,即,   解得:|yP|=6,yP=±6,   当yP=6时,方程无实根,   当yP=-6时,方程的解为x1=6,x2=-4.   故点P的坐标为(6,-6)或(-4,-6).
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