【10.已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个实数p、q,且p≠q,不等式恒成立,则实数a的取值范围是（】
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问题描述：
10.已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.
已知函数f(x)=aln(x+1)-x2,若在区间(0,1)内任取两个实数p、q,且p≠q,不等式
恒成立,则实数a的取值范围是（）.
陆明泉回答：
之前遇到过一题类似的.
不等式是[f(p+1)-f(q+1)]/(p-q)＞1吗?
如果是的话,
由于[f(p+1)-f(q+1)]/(p-q)表示点（p+1,f（p+1））与点（q+1,f（q+1））连线的斜率,
因实数p,q在区间（0,1）内,故p+1和q+1在区间（1,2）内．
∵不等式[f(p+1)-f(q+1)]/(p-q)＞1恒成立
∴函数图象上在区间（1,2）内任意两点连线的斜率大于1,
故函数的导数大于1在（1,2）内恒成立.
由函数的定义域知,x＞-1,
∴f′（x）=a/(x+1)-2x＞1在（1,2）内恒成立.
即a＞2x2+3x+1在（1,2）内恒成立.
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1,2]上是单调增函数,
故x=2时,y=2x2+3x+1在[1,2]上取最大值为15,∴a≥15,
故答案为[15,+∞）.
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