设抛物线Y=1/2X^2的焦点为F,准线为L,过点F作一直线与抛物线于A,B两点,再分别过点A,B作抛物线的切线,这两条切线的交点记为P.（1）证明直线PA与PB相互垂直,且点P在准线L上；（2)是否存在常数M,
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问题描述：
设抛物线Y=1/2X^2的焦点为F,准线为L,过点F作一直线与抛物线于A,B两点,再分别过点A,B作抛物线的切线,这两条切线的交点记为P.（1）证明直线PA与PB相互垂直,且点P在准线L上；（2)是否存在常数M,使得向量FA乘以向量FB=M乘以向量FP成立?
宋仁杰回答：
解（1）抛物线Y=1/2X²的焦点F坐标为（0,1/2）准线y=-1/2
由题意知,直线L的斜率存在,故设其方程为y=kx+1/2代入抛物线Y=1/2X²得
X²-2kx-1=0
⊿=4k²+4>0恒成立,设A（x1,1/2x1²）,B（x2,1/2x2²）,则x1+x2=2k,x1x2=-1
由y′=x得k1=x1,k2=x2,所以k1k2=x1x2=-1,即PA与PB垂直.
又PA、PB的方程分别为y-1/2x1²=x1(x-x1),y-1/2x2²=x2(x-x2)两式解得x=k=(x1+x2)/2
代入PA方程得y-1/2x1²=x1[(x1+x2)/2-x1]=-1/2x1x2=-1/2,所以点P在准线L上
(2)存在m=1满足条件.
FA●FB=mFP得,
（x1,1/2x1²-1/2）●（x2,1/2x2²-1/2）=m(K,-1/4)
又k=(x1+x2)/2,x1x2=-1,化简得1/m²=m,∴m=1
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