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如图,已知△ABC的面积为S,已知向量AB乘以向量BC=2,若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值
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问题描述:

如图,已知△ABC的面积为S,已知向量AB乘以向量BC=2,若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值

史志存回答:
  【解】   s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=(3/4)|AB|,   ∴|BC|sinB=3/2,   ∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB   将|BC|=3/(2sinB)代入得   2=(-3/2)|AB|cosB/sinB,   |AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.   由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC|cosB   =9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB   =(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4   【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2   =(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2   =1+1/(tanB)^2,代入上式】   上式=(9/4)*[1+1/(tanB)^2]+(16/9)(tanB)^2+4   =(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式   ≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2]+4+9/4   =4+4+9/4=41/4.   ∴|AC|≥√41/2.   当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.   此时tanB=-3√2/4.
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