【椭圆C的方程为X²/8＋Y²/4=1,F为右焦点,M为上顶点,直线l交椭圆C于A.B两点,且F为三角形ABM的垂心,求直线l的方程!】
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问题描述：
椭圆C的方程为X²/8＋Y²/4=1,F为右焦点,M为上顶点,直线l交椭圆C于A.B两点,且F为三角形ABM的垂心,求直线l的方程!
姜广文回答：
x^2/8+y^2/4=1
F(2,0)M(0,2)
A(x1,y1)B(x2,y2)
FM垂直AB(y2-y1)/(x2-x1)=-1/[(2-0)/(0-2)]=1
AF垂直BM(y2-2)/x2=-1/[y1/(x1-2)]=(2-x1)/y1
2x2-x1x2=y1y2-2y1
BF垂直AM(y1-2)/x1=-1/[y2/(x2-2)]=(2-x2)/y2
2x1-x1x2=y1y2-2y2
2(x1+x2)-2x1x2=2y1y2-2(y1+y2)
(x1+x2)-x1x2=y1y2-(y1+y2)
设AB直线y=x+b
x^2/8+y^2/4=1
x^2+2(x+b)^2=8
5x^2+4bx+2b^2-8=0
x1+x2=-4b/5y1+y2=x1+x2+2b
x1x2=(2b^2-8)/5y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b^2+x1+x2
(x1+x2)-x1x2=y1y2-(y1+y2)=(x1x2+b^2+x1+x2)-(x1+x2+2b)
x1+x2-x1x2=x1x2+b^2-2b
x1+x2=2x1x2+b^2-2b
-4b/5=(4b^2-16)/5+b^2-2b
-4b=4b^2-16+5b^2-10b
9b^2-6b-16=0
(3b-1)^2=17
3b-1=√17或3b-1=-√17
b=(1+√17)/3b=(1-√17)/3
直线l:y=x+(1±√17)/3
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