已知函数f(x)=lne^x是实数集R上的奇函数,函数g(x)=kf(x)+sinx是区间｛-1,1｝上的减函数,讨论关于x的方程lnx=f(x）(x^2-2ex+m)的根的个数
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问题描述：
已知函数f(x)=lne^x是实数集R上的奇函数,函数g(x)=kf(x)+sinx是区间｛-1,1｝上的减函数,
讨论关于x的方程lnx=f(x）(x^2-2ex+m)的根的个数
罗维平回答：
因为函数f(x)=x；故方程转化为(lnx)/x=x^2-2ex+m,令F（x）=(lnx)/x（x＞0）,G（x）=x^2-2ex+m,∵F'（x）=(1-lnx)/x^2,令F'（x）=0,即(1-lnx)/x^2=0,得x=e
当x∈（0,e）时,F'（x）＞0,∴F（x）在（0,e）上为增函数；
当x∈（e,+∞）时,F'（x）＜0,F（x）在（e,+∞）上为减函数；
当x=e时,F（x）max=F（e）=1/e
而G（x）=(x-e)^2+m-e^2（x＞0）
∴G（x）在（0,e）上为减函数,在（e,+∞）上为增函数；
当x=e时,G（x）min=m-e^2
∴当m-e^2＞1/e,即m＞e^2+1/e时,方程无解；
当m-e^2=1/e,即m=e^2+1/e时,方程有一个根；
当m-e^2＜1/e,即m＜e^2+1/e时,方程有两个根;
罗维平回答：
G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数,所以x=e是极小值点。通过最值判定根的个数是采用数形结合法，这时候不是等式关系，而是看做函数关系。对于判定根的个数问题最常用的方法就是数形结合法，尤其是针对超越函数判定根的个数问题。
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