23．如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐
2人问答
问题描述：
23．如果存在正实数a，使得f（x-a）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”．则下列函数是“和谐函数”有 ．（把所有正确的序号都填上）
①f（x）=（x-1）2+5
②f（x）=cos2（x-
π
4
）
③f（x）=sinxcosx
④f（x）=ln|x+1|．
刘银回答：
：①由f（x）=（x-1）2+5，∴f（x+1）=x2+5是偶函数，∵f（0）=6≠0，∴无论正数a取什么值，f（x-a）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；②∵f（x）=cos（2x-π2）=sin2x，∴当a＝kπ±π4时，f（x±a）=sin(2x±(2kπ±π2))=±cos2x为偶函数；当a＝kπ±π2时，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx为奇函数．因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移π4的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．③∵f（x）=sinxcosx=12sin2x，同②；④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”．综上可知：①②③④都不是“和谐函数”．故答案为0个．
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