已知数列中，，，(1)是否存在常数λ，μ，使得数列是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；(2)设，数列的前n项和为，是否存在常数c，使得成立？并证明你的结论；(3)设，
1人问答
问题描述：
已知数列中，，，
(1)是否存在常数λ，μ，使得数列是等比数列，若存在，求λ，μ的值，若不存在，说明理由；
(2)设，数列的前n项和为，是否存在常数c，使得成立？并证明你的结论；
(3)设，，证明．____
曹洪权回答：
【分析】(1)由题意知an+1=2an-n2+3n可化为an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2(an+λn2+μn)，故，所以存在，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列．
(2)由题意得bn=2n-1，要使得lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)=2lg(Sn+1-c)成立，则有c=-1，所以，存在常数c=-1，使得lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)=2lg(Sn+1-c)成立．
(3)由题意知，，所以…，由此可证明Tn(n≥2)．
(1)设an+1=2an-n2+3n可化为an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2(an+λn2+μn)，
即an+1=2an+λn2+(μ-2λ)n-λ-μ，
故，得，
又a1-12+1≠0，
所以存在，使得数列{an+λn2+μn}是等比数列；
(2)由(1)得an-n2+n=(a1-12+1)•2n-1，
得an=2n-1+n2-n，所以bn=2n-1，Sn=2n-1，
要使得lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)=2lg(Sn+1-c)成立，
则有${((S_(n)-c)(S_(n+2)-c)=(S_(n+1)-c)^(2)),(S_(n)-c>0):}，得c=-1，
所以，存在常数c=-1，使得lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)=2lg(Sn+1-c)成立；
(3)证明：因为an=2n-1+n2-n，
所以，
而$c_{n}=frac{1}{n^2}ltfrac{1}{n^{2}-frac{1}{4}}=frac{1}{n-frac{1}{2}}-frac{1}{n+frac{1}{2}}
所以T_{n}=c_{1}+c_{2}+…+c_{n}lt1+frac{2}{3}-frac{1}{n+frac{1}{2}}ltfrac{5}{3}(n≥2)
又当n=2时，T_{2}=frac{5}{4}>frac{4}{5}
当n≥3时，c_{n}=frac{1}{n^2}>frac{1}{n}-frac{1}{n+1}
得T_{n}=c_{1}+c_{2}+…+c_{n}>1-frac{1}{n+1}=frac{n}{n+1}>frac{n}{n+1}•frac{6}{2n+1}=frac{6n}{(n+1)(2n+1)}$；
综上，Tn(n≥2)得证．
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．
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