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已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞).(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值;(2):若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.y=f(x)=(x^2+2x+a)/x
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问题描述:

已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞).

(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值;

(2):若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

y=f(x)=(x^2+2x+a)/x

李小图回答:
  f(x)=(x²+2x+a)/x   =x+(a/x)+2   x∈[1,+∞).   (1)当a=1/2时,f(x)=x+1/(2x)+2   此函数是对钩函数,在(0,√2/2]递减,在[√2/2,+∞)递增,   ∵x∈[1,+∞).   ∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2   (2)对任意x∈[1,+∞).f(x)>0恒成立,则   f(x)=(x²+2x+a)/x   =x+(a/x)+2   分类讨论:   若a>0,则对任意x∈[1,+∞).x+a/x>0,所以f(x)>0恒成立   若a=0,则f(x)=x+2,对任意x∈[1,+∞).f(x)>0恒成立   若a<0,则x和a/x在区间[1,+∞)同为增函数,即f(x)是增函数,此时只要f(1)=1+a+2>0,即a>-3,即可使得f(x)>0恒成立   综上所述,a的取值范围是(-3,+∞)
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《已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,+∞).(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值;(2):若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.y=f(x)=(x^2+2x+a)/x|小学数学问答-字典翻译问答网》
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