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【两道高等代数关于多项式的题.1.求出所有满足条件(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)的非零的实系数多项式.2.求出满足f(x²)-f(x)f(x+1)=0的所有复系数多项式.教授课堂上出的例题,让我们】
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问题描述:

两道高等代数关于多项式的题.

1.求出所有满足条件(x-1)f(x+1)=(x+2)f(x)的非零的实系数多项式.

2.求出满足f(x²)-f(x)f(x+1)=0的所有复系数多项式.

教授课堂上出的例题,让我们做,但是好几个星期了也没给讲.

刘良田回答:
  思路都是比较两边的根.   1.x=1是(x-1)·f(x+1)的根,所以也是(x+2)·f(x)的根.   但其不是x+2的根,故其为f(x)的根,f(1)=0.   同理,由x=-2是(x+2)·f(x)的根,可得f(-1)=0.   继而将x=0代入左端,得f(0)=0.   由f(x)有根0,1,-1,可设f(x)=x(x-1)(x+1)·g(x).   代入等式得x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x+1)=x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x).   既有g(x)=g(x+1),而g(x)是多项式,只有g(x)=c.   于是f(x)=cx(x-1)(x+1),其中c为非零实数.   2.首先f(x)=0与f(x)=1显然满足要求,以下只讨论次数大于1的多项式.   由f(x²)=f(x)f(x+1),若a是f(x)的根,则a也是f(x²)的根,也即a²是f(x)的根.   于是a,a²,(a²)²,((a²)²)²,...都是f(x)的根.   但若f(x)非零,只有有限个根,存在m
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