思路都是比较两边的根.
1.x=1是(x-1)·f(x+1)的根,所以也是(x+2)·f(x)的根.
但其不是x+2的根,故其为f(x)的根,f(1)=0.
同理,由x=-2是(x+2)·f(x)的根,可得f(-1)=0.
继而将x=0代入左端,得f(0)=0.
由f(x)有根0,1,-1,可设f(x)=x(x-1)(x+1)·g(x).
代入等式得x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x+1)=x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x).
既有g(x)=g(x+1),而g(x)是多项式,只有g(x)=c.
于是f(x)=cx(x-1)(x+1),其中c为非零实数.
2.首先f(x)=0与f(x)=1显然满足要求,以下只讨论次数大于1的多项式.
由f(x²)=f(x)f(x+1),若a是f(x)的根,则a也是f(x²)的根,也即a²是f(x)的根.
于是a,a²,(a²)²,((a²)²)²,...都是f(x)的根.
但若f(x)非零,只有有限个根,存在m