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信息安全数学基础的习题:设m,n为正整数,a>1是整数证明:(a^m-1,a^n-1)=a^(m,n)-1a^m表示的意思是a的m次方,以此类推后面的是a的(m,n)的次方,(m,n)表示m与n的最大公因数
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问题描述:

信息安全数学基础的习题:设m,n为正整数,a>1是整数证明:(a^m-1,a^n-1)=a^(m,n)-1

a^m表示的意思是a的m次方,以此类推后面的是a的(m,n)的次方,(m,n)表示m与n的最大公因数

刘凤新回答:
  设(m,n)=d,m=dm1,n=dn1,   需要公式x^k-y^k=(x-y)[x^(k-1)+x^(k-2)*y+x^(k-3)*y^2+.+y^(k-1)]   a^m-1=a^(m1d)-1=(a^d)^m1-1   =(a^d-1){a^[(m1-1)d]+a^[(m1-2)d]+a^[(m1-3)d]+...+1}   a^m-1=(a^d-1){a^[(m=n1-1)d]+a^[(n1-2)d]+a^[(n1-3)d]+...+1}   余下来就是证明   a^[(m1-1)d]+a^[(m1-2)d]+a^[(m1-3)d]+...+1与a^[(m=n1-1)d]+a^[(n1-2)d]+a^[(n1-3)d]+...+1   互素,可以用欧几里得算法得到证明.
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