【函数极值的应用已知函数f(x)=(x^4)/4-x^3-(9x^2)/2+cx有三个极值点.（1）证明-27小于c小于5（2）若存在c,是函数f(x)在区间【a,a+2】上单调递减,求a的取值范围.特别是第二问！又f′(x)=x3+3x2-9x+c，当c=-2】
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问题描述：
函数极值的应用
已知函数f(x)=(x^4)/4-x^3-(9x^2)/2+cx有三个极值点.
（1）证明-27小于c小于5
（2）若存在c,是函数f(x)在区间【a,a+2】上单调递减,求a的取值范围.
特别是第二问！
又f′(x)=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f′(x)=(x-3)(x+3)2;当c=5时，f′(x)=(x+5)(x-1)2.
因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3
这部怎么来的！
沙占江回答：
解(Ⅰ)因为函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点,所以
f′(x)x3+3x3-9x+c=0有三个互异的实根.
设g(x)=x3+3x2-9x+c,则g′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1).
当x＜-3时,g′(x)＞0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,
当-3＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(-3,1)上为减函数,
当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,+∞)上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
当g(-3)≤0或g(1)≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根,因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)＞0,且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0,且1+3-9+c＜0,解得c＞-27,且c＜5.
故-27＜c＜5.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知,当-27＜c＜5时,f(x)有三个极值点,不妨设为x1,x2,x3(x1＜x2＜x3),则f′(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3).
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,x1],[x2,x3].
若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,则[a,a+2](-∞,x1],或[a,a+2][x2,x3].
若[a,a+2](-∞,x1],则a+2≤x1,由(Ⅰ)知,x1＜-3,于是a＜-5.
若[a,a+2][x2,x3],则a≥x2,且a+2≤x3.由(Ⅰ)知,-3＜x2＜1.
又f′(x)=x3+3x2-9x+c,当c=-27时,f′(x)=(x-3)(x+3)2;当c=5时,f′(x)=(x+5)(x-1)2.
因此,当-27＜c＜5时,1＜x3＜3.
所以a＜-3,且a+2＜3.即-3＜a＜1.
故a＜-5,或-3＜a＜1.
反之,当a＜-5,或-3＜a＜1时,总可找到c(-27,5),使f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-5)(-3,1).
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