已知α+β=1,αβ=-1,设S1=α+β,S2=α²+β²,S3=α³+β³…Sn=α的n次方+β的n次方（1）分别计算S1，S2，S3，和S4的值（2）试写出Sn-2，Sn-2，Sn三者之间的关系式（3）根据以上得出的结论，计算
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问题描述：
已知α+β=1,αβ=-1,设S1=α+β,S2=α²+β²,S3=α³+β³…Sn=α的n次方+β的n次方
（1）分别计算S1，S2，S3，和S4的值
（2）试写出Sn-2，Sn-2，Sn三者之间的关系式
（3）根据以上得出的结论，计算α^7+β^7
李忠民回答：
题目有问题吧，S2就不是平方相加，怎么n项就变成n次方相加了呢
曹晶回答：
(1)
S1=α+β=1
S2=α²+β²
=(α+β)²-2αβ
=1²-2×(-1)
=1+2
=3
S3=α³+β³
=(α+β)(α²-αβ+β²)
=(α+β)[(α+β)²-3αβ]
=1×[1²-3×(-1)]
=4
S4=α⁴+β⁴
=(α²+β²)²-2(αβ)²
=3²-2×(-1)²
=7
(2)
S(n-2)=α^(n-2)+β^(n-2)
S(n-1)=α^(n-1)+β^(n-1)
Sn=αⁿ+βⁿ
S(n-2)Sn
=[α^(n-2)+β^(n-2)](αⁿ+βⁿ)
=α^(2n-2)+α^(n-2)βⁿ+αⁿβ^(n-2)+β^(2n-2)
=[α^(n-1)]²+[β^(n-1)]²+α^(n-2)β^(n-2)(α²+β²)
=[α^(n-1)+β^(n-1)]²-2(αβ)^(n-1)+(αβ)^(n-2)(α²+β²)
=S(n-1)²-2×(-1)^(n-1)+3(-1)^(n-2)
=S(n-1)²+5×(-1)ⁿ
SnS(n-2)-S(n-1)²=5×(-1)ⁿ
(3)
α^7+β^7
=(α³+β³)(α⁴+β⁴)-α³β⁴-α⁴β³
=(α³+β³)(α⁴+β⁴)-(αβ)³(α+β)
=4×7-(-1)³×1
=28+1
=29
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